证明: $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0$ 当且仅当 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|x_n|=0$.
证明: $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0$ 当且仅当 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|x_n|=0$.
Answer
问题及解答
1
Pf. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0$, 根据定义, 有
$\forall\varepsilon > 0$, $\exists\ N\in\mathbb{N}$, s.t. 当 $n>N$ 时, $|x_n-0| < \varepsilon$.
这等价于
$\forall\varepsilon > 0$, $\exists\ N\in\mathbb{N}$, s.t. 当 $n>N$ 时, $\bigl||x_n|-0\bigr| < \varepsilon$.
于是
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|x_n|=0$.