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问题及解答

斐波那契数列(Fibonacci数列)

Posted by haifeng on 2021-03-15 18:20:43 last update 2021-03-20 22:30:28 | Edit | Answers (0)

斐波那契数列 Fibonacci(n), 或简记为 $F(n)$,

定义为 $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$. $F(0)=0$, $F(1)=1$. 且 $F(-n)=(-1)^{n-1}F(n)$. 这里 $n$ 为非负整数.


Fibonacci 数列的前几个值为:
 \[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots\]

在 Calculator 中可以使用下面的函数生成

 Fibonacci(10,yes)

通项 F_n=F(n) 的公式为:

\[F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\Bigl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^n-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigl(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^n\]

\[
m=\begin{cases}
n, & n \text{是奇数}\\
n-1, & n \text{是偶数}\\
\end{cases}
\]

则可推出

\[F_n = \frac{1}{2^{n-1}}\cdot(C_n^1+C_n^3\cdot 5+C_n^5\cdot 5^2+\cdots+C_n^m\cdot 5^{\frac{m-1}{2}})\]


 

Fibonacci 数和二项式之间还有如下关系 ( [1] P.121 题 28) :

\[
F_{n+1}=C_n^0+C_{n-1}^1+\cdots+C_{n-k}^{k},
\]

其中 $k=[\frac{n}{2}]$.

这也是 Fibonacci 数与 Pascal 三角形之间的关系.

 

 


References:

[1] 殷剑宏 编著 《组合数学》