设 $\lambda,\omega$ 均为实数, 且 $\omega\neq 0$. 证明下面的二阶常系数线性非齐次常微分方程
\[
y''+py'+qy=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]
\]
存在如下形式
\[
y_*=x^k e^{\lambda x}\bigl[h_m(x)\cos\omega x+g_m(x)\sin\omega x\bigr]
\]
的特解.
注: 这里 $P_l(x)$ 和 $P_n(x)$ 分别是 $l$ 次、$n$ 次多项式. $h_m(x)$ 和 $g_m(x)$ 是 $m$ 次多项式, $m=\max\{l,n\}$.
$k$ 取值 $1$ 或 $0$, 取决于 $\lambda+i\omega$ 是否是原微分方程相应齐次方程之特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的解.
1
令 $y_1(x)=e^{\lambda x}h(x)\cos\omega x$, $y_2(x)=e^{\lambda x}g(x)\sin\omega x$. 先求这两个函数的一阶和二阶导数.
\[
\begin{split}
y'_1(x)&=\lambda e^{\lambda x}h(x)\cos\omega x+e^{\lambda x}(h'(x)\cos\omega x-\omega h(x)\sin\omega x)\\
&=e^{\lambda x}\Bigl[(\lambda h+h')\cos\omega x-\omega h\sin\omega x\Bigr],
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
y''_1(x)&=\lambda e^{\lambda x}\Bigl[(\lambda h+h')\cos\omega x-\omega h\sin\omega x\Bigr]+e^{\lambda x}\Bigl[(\lambda h'+h'')\cos\omega x-\omega(\lambda h+h')\sin\omega x-(\omega h'\sin\omega x+\omega^2 h\cos\omega x)\Bigr]\\
&=e^{\lambda x}\Bigl[(\lambda^2 h+\lambda h')\cos\omega x-\lambda\omega h\sin\omega x+(\lambda h'+h'')\cos\omega x-(\omega\lambda h+\omega h')\sin\omega x-\omega h'\sin\omega x-\omega^2 h\cos\omega x\Bigr]\\
&=e^{\lambda x}\Bigl[(\lambda^2 h+2\lambda h'+h''-\omega^2 h)\cos\omega x-2(\lambda\omega h+\omega h')\sin\omega x\Bigr],
\end{split}
\]
于是
\[
\begin{split}
e^{-\lambda x}(y''_1+py'_1+qy_1)&=\Bigl(h''+2\lambda h'+(\lambda^2-\omega^2)h\Bigr)\cos\omega x-2\omega(\lambda h+h')\sin\omega x+p\Bigl((\lambda h+h')\cos\omega x-\omega h\sin\omega x\Bigr)+qh\cos\omega x\\
&=\Bigl(h''+(2\lambda+p)h'+(\lambda^2-\omega^2+p\lambda+q)h\Bigr)\cos\omega x-2\omega\Bigl(h'+(2\lambda+p)h\Bigr)\sin\omega x\ .
\end{split}
\]
对于 $y_2(x)$,
\[
\begin{split}
y'_2(x)&=\lambda e^{\lambda x}g(x)\sin\omega x+e^{\lambda x}(g'(x)\sin\omega x+\omega g(x)\cos\omega x)\\
&=e^{\lambda x}\Bigl[(\lambda g+g')\sin\omega x+\omega g\cos\omega x\Bigr],
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
y''_2(x)&=\lambda e^{\lambda x}\Bigl[(\lambda g+g')\sin\omega x+\omega g\cos\omega x\Bigr]+e^{\lambda x}\Bigl[(\lambda g'+g'')\sin\omega x+\omega(\lambda g+g')\cos\omega x+\omega g'\cos\omega x-\omega^2 g\sin\omega x)\Bigr]\\
&=e^{\lambda x}\Bigl[(\lambda^2 g+\lambda g')\sin\omega x+\lambda\omega g\cos\omega x+(\lambda g'+g'')\sin\omega x+(\omega\lambda g+\omega g')\cos\omega x+\omega g'\cos\omega x-\omega^2 g\sin\omega x\Bigr]\\
&=e^{\lambda x}\Bigl[(\lambda^2 g+2\lambda g'+g''-\omega^2 g)\sin\omega x+2(\lambda\omega g+\omega g')\cos\omega x\Bigr],
\end{split}
\]
于是
\[
\begin{split}
e^{-\lambda x}(y''_2+py'_2+qy_2)&=\Bigl(g''+2\lambda g'+(\lambda^2-\omega^2)g\Bigr)\sin\omega x+2\omega(\lambda g+g')\cos\omega x+p\Bigl((\lambda g+g')\sin\omega x+\omega g\cos\omega x\Bigr)+qg\sin\omega x\\
&=\Bigl(g''+(2\lambda+p)g'+(\lambda^2-\omega^2+p\lambda+q)g\Bigr)\sin\omega x+2\omega\Bigl(g'+(2\lambda+p)g\Bigr)\cos\omega x\ .
\end{split}
\]
将 $y''_1+py'_1+qy_1$ 和 $y''_2+py'_2+qy_2$ 相加, 并除以公因子 $e^{\lambda x}$, 得
\[
\begin{split}
&\Bigl[(y_1+y_2)''+p(y_1+y_2)'+q(y_1+y_2)\Bigr]/e^{\lambda x}\\
=&\Bigl[h''+(2\lambda+p)h'+(\lambda^2-\omega^2+\lambda p+q)h+\omega(2g'+(2\lambda+p)g)\Bigr]\cos\omega x\\
&\quad\Bigl[g''+(2\lambda+p)g'+(\lambda^2-\omega^2+\lambda p+q)g-\omega(2h'+(2\lambda+p)h)\Bigr]\sin\omega x\ ,
\end{split}
\]
于是得
\[
\begin{cases}
h''+(2\lambda+p)h'+(\lambda^2-\omega^2+\lambda p+q)h+\omega(2g'+(2\lambda+p)g)=P_l(x),\\
g''+(2\lambda+p)g'+(\lambda^2-\omega^2+\lambda p+q)g-\omega(2h'+(2\lambda+p)h)=P_n(x).
\end{cases}
\]
（1）若 $\lambda+i\omega$ 是特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的一个复根(这里 $\omega\neq 0$), 则容易算得 $\lambda^2-\omega^2+\lambda p+q=0$, 且 $2\lambda\omega+p\omega=0$, 由于 $\omega\neq 0$, 我们有 $2\lambda+p=0$. 因此, 上面的方程组简化为
\[
\begin{cases}
h''+2\omega g'&=P_l(x),\\
g''-2\omega h'&=P_n(x).
\end{cases}
\]
记 $m=\max\{l,n\}$, 则可令 $\deg(g)=\deg(h)=m+1$, 求出这样的多项式.
（2）若 $\lambda+i\omega$ 不是特征方程的解, 则 $\lambda^2-\omega^2+\lambda p+q$ 和 $2\lambda+p$ 至少有一个不为零. 此时可令 $h(x)$ 和 $g(x)$ 均为 $m$ 次多项式.