设 $\Sigma$ 为半球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ $(z\leqslant 0)$ 的上侧, 求曲面积分
\[\iint_{\Sigma}(x+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y+2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]
的值.
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解. 这是第II型曲面积分. 令 $P(x,y,z)=x+1$, $Q(x,y,z)=y+2$, $R(x,y,z)=z+3$.
记 $\Sigma_1=\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2\leqslant R^2\}$, 取上侧. $\Sigma_1$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域记为 $D$. 记 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma^{-}$ 所围立体(包含边界, 即3维闭区域)为 $\Omega$. 则由 Gauss 公式,
\[
\iiint_{\Omega}\biggl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\biggr)\mathrm{d}v=\iint_{\partial\Omega}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.
\]
这里 $\dfrac{\partial P}{\partial x}=1$,$\dfrac{\partial Q}{\partial y}=1$, $\dfrac{\partial R}{\partial z}=1$, $\partial\Omega=\Sigma_1+\Sigma^{-}$. 因此
\[
\iiint_{\Omega}=\iint_{\Sigma_1}-\iint_{\Sigma}\ ,
\]
于是
\[
\begin{split}
&\iint_{\Sigma}(x+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y+2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\
=&\iint_{\Sigma_1}(x+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y+2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y-\iiint_{\Omega}3\mathrm{d}v\\
=&\iint_{D}(0+3)\mathrm{d}\sigma-3\mathrm{Vol}(\Omega)\\
=&3\cdot\pi R^2-3\cdot\frac{2}{3}\pi R^3\\
=&3\pi R^2-2\pi R^3.
\end{split}
\]