问题

证明李群 $SL(n,\mathbb{C})$ 的李代数 $\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})$ 为

\[
\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})=\{A\in\mathcal{M}(n,\mathbb{C})\mid \text{tr}(A)=0\}.
\]

证明:

$\mathrm{sl}(n,\mathbb{C})=\mathrm{sl}(n,\mathbb{R})_{\mathbb{C}}$.

$\mathrm{su}(2)\subset\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})$.

$\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})=\mathrm{su}(2)\otimes\mathbb{C}$.  (见问题1980)

求李代数 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})$ 的基.