设 $p,q$ 互素, 求 $\sum_{k=0}^{pq-1}(-1)^{[\frac{k}{p}]+[\frac{k}{q}]}$.
设 $p,q$ 互素, 证明
\[
\sum_{k=0}^{pq-1}(-1)^{[\frac{k}{p}]+[\frac{k}{q}]}=
\begin{cases}
0, & pq\ \text{是偶数},\\
1, & pq\ \text{是奇数}.\\
\end{cases}
\]
这里 [ ] 是指取整.
(Proposed by Alexander Bolbot, State University, Novosibirsk)
[Hint] 当 $pq$ 为偶数时, 由于 $p,q$ 互素, 故它们的奇偶性不同. 令 $a_k=(-1)^{[\frac{k}{p}]+[\frac{k}{q}]}$, 证明
\[
a_k+a_{pq-1-k}=0.
\]