证明 $X=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 不是指数映射的像.
考虑群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$. 证明 $X=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 不是指数映射的像.
[Hint]
若存在 $x$, 使得 $X=\exp(x)$, 则 $x$ 的特征值是什么?
References:
Alexander Kirillov, Jr. Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. (Exercise 3.1)