[Cor 5.9]([Boothby]) 设 $N$ 和 $M$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维 $C^\infty$ 流形,  $F:\ N\rightarrow M$ 是 $C^\infty$ 映射. $a\in M$, 如果在 $A=F^{-1}(a)$ 中每一点处, $F$ 的秩都等于 $m$, 则 $A$ 是 $N$ 的一个闭的正则子流形.

[Boothby] An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.

设 $f:\ M^m\rightarrow N^n$ 为微分流形之间的光滑映射. 如果存在常数 $\ell$, 使得 $\text{rank}_p f=\ell$, $\forall\ p\in M$, 则对每个固定的 $q\in N$, $q$ 在 $f$ 下的原像

\[
f^{-1}(q)=\{p\in M\mid f(p)=q\}
\]

要么为空集, 要么为 $M$ 的正则子流形, 其维数为 $m-\ell$.

References:

梅加强, 《流形与几何初步》, P13. 定理 1.2.8.

考虑光滑映射

\[
F:\ \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R},\quad F(x,y,z)=(x^2+y^2)^2+z^2.
\]

显然, 当 $p=(x,y,z)\neq \vec{0}$ 时, $\text{rank}_p F=1$. 因此根据常秩映射定理(参见问题1617), 当 $r > 0$ 时, $S_r=F^{-1}(r^2)$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中正则子流形.

请验证所有的 $S_r$ 都和二维球面 $S^2$ 微分同胚.

设 $f: M\rightarrow N$ 为微分流形之间的光滑映射, 证明 $f$ 的图像(graph)

\[
\Gamma_f=\{(p,q)\in M\times N\mid f(p)=q\}
\]

为乘积流形 $M\times N$ 的正则子流形.

先证明特殊情形.

给定一光滑函数 $f:\ \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, 证明

\[
\Gamma_f=\text{graph}(f)=\{(x,f(x))\in\mathbb{R}^{n+m}\mid x\in\mathbb{R}^n\}
\]

是 $\mathbb{R}^{n+m}$ 的一个正则子流形.

证明: $C^k$ 映射限制到正则子流形上仍为 $C^k$ 映射.

通过把平面上的一个圆周绕某个坐标轴旋转得到二维环面到 $\mathbb{R}^3$ 的嵌入.

推广这一过程, 证明 $n$ 维环面均可嵌入到 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中.

Hint: 使用归纳法.

$T^2\times S^1\rightarrow\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$.

$S^n$ 能否嵌入到 $\mathbb{R}^n$ 中去?

设 $\alpha$ 为正无理数, 考虑映射

\[
f:\ \mathbb{R}\rightarrow S^1\times S^1,\quad f(t)=(e^{i2\pi t},e^{i2\pi\alpha t}).
\]

证明 $f$ 为单浸入, 且其像在 $S^1\times S^1$ 中稠密;

推广这个结果, 证明存在单浸入 $f:\ \mathbb{R}\rightarrow T^n$, 使得 $f(\mathbb{R})$ 在 $T^n$ 中稠密.

参考徐森林 《流形》

说明

\[
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y^2=x^2(x+1)\}
\]

为 $\mathbb{R}^2$ 的浸入子流形, 并画出它的图像.

考虑映射 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$,

\[
f(t)=(\frac{t^3+t}{t^4+1},\frac{t^3-t}{t^4+1}),\quad t\in\mathbb{R}.
\]

证明: $f$ 是单射, 且 $\text{rank}f\equiv 1$. 因此 $f$ 是一个单浸入, 但它不是嵌入, 因为 $f(R)$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的双纽线

\[
(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,
\]

双纽线为紧致子集.

问: 双纽线能成为 $\mathbb{R}^2$ 的正则子流形吗?