设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $e^y+xy-x^2=1$ 所确定的函数, 求 $y'$ 和 $y''$.

若当 $x\rightarrow 0$ 时, $y(x)$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小, 求 $k$ 的值.

求函数 $y=\sqrt[3]{x^4-x^3}$ 的极值, 并画出图形.

首先该函数的定义域为 $\mathbb{R}$. 显然的零点是 $x=0$ 和 $x=1$.

设 $f(x)=x^4-x^3$, 则求导得 $f'(x)=4x^3-3x^2$. 

使用 GeoGebra 绘制函数 $y=\sqrt[3]{x^4-x^3}$ 的图像:

其最小值在 $x=\frac{3}{4}$ 处取得. 最小值为 $-\frac{3}{4\cdot\sqrt[3]{4}}$.

P. 118  习题 3.2

1.  利用洛必达法则求下列极限:

(9)    $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x(e^{\frac{2}{x}}-1)$

(11)    $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}(1-x)^{\cos\frac{\pi}{2}x}$

3.   设 $f(x)=\begin{cases}\frac{g(x)}{x}, & x\neq 0,\\ 0, & x=0 ,\end{cases}$  其中 $g(x)$ 具有二阶导数, 并且 $g(0)=g'(0)=0$, $g''(0)=a$,  求 $f'(0)$.

P. 99  习题 2.5

3. 求下列函数的微分:

(2)   $y=x^2 e^{-x}$

(6)    $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

4.  求下列方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的微分:

(3)    $e^y+xy-e^x=0$

7. 计算下列各式的近似值:

(1)    $\sqrt[6]{65}$

P. 91  习题 2.4

3.  求下列方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的一阶导数与二阶导数.

(1)    $x^3+x^2y+y^3=a^3$      ($a\neq 0$)

4.  求下列函数的导数.

(3)    $y=\sqrt{\dfrac{x(x^2+1)}{(x^2-1)^3}}$

7.  求下列参数方程所确定的函数 $y=y(x)$ 的一阶导数与二阶导数.

(3)  $\begin{cases}x=1-t^2,\\ y=t-t^3\end{cases}$

P.85 习题 2.3

2.  设 $f(x)$ 二阶可导, 求下列函数的二阶导数

(1)  $y=f(\frac{1}{x})$

4.  求下列函数的 $n$ 阶导数

(4)  $y=\sin^4 x+\cos^4 x$

(6)  $y=\frac{1}{x^2-1}$

P. 81

2. 求下列函数的导数

(12)  $y=\dfrac{1-\sin\sqrt{x}}{1+\sin\sqrt{x}}$

(17)  $y=x\arcsin\frac{x}{2}+\sqrt{4-x^2}$

7.  求下列分段函数的导数:

(1)  $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}, & x\neq 0,\\ 0, & x=0.\end{cases}$

设 $f(x)$ 二阶可导,  求下列函数的二阶导数.

(1) $y=f(\frac{1}{x})$

(2) $y=e^{f(x)}$

求下列分段函数的导数

(1)

\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x},& x\neq 0,\\
0,& x=0.
\end{cases}
\]

设 $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leqslant 1,\\ 2x, & x > 1\end{cases}$, 求 $f'_{-}(1)$ 和 $f'_{+}(1)$, 并说明 $f'(1)$ 是否存在.

[hint]

事实上, 函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 不连续, 当然在该点也就不可导.

类似的问题

设

\[
f(x)=\begin{cases}
\dfrac{\ln(1+3x^2)}{x}, & x\neq 0,\\
0, & x=0.
\end{cases}
\]

求 $f'(0)$.