设定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)-f(-x)=2x^3$, 且当 $x>0$ 时, $f'(x)>3x^2$. 求不等式 $f(x)-f(x-1)>3x^2-3x+1$ 的解集.

提示: 这个题目要利用下面这个事实:

命题: 任何定义在对称区间上的函数 $f(x)$ 都可以写成一个奇函数和一个偶函数的和.

这是因为

\[
f(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}+\frac{f(x)+f(-x)}{2}.
\]

定理 (达布Darboux) 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的可导函数, 则 $f'$ 可以取到 $f'_{+}(a)$ 与 $f'_{-}(b)$ 之间的任意值.

换言之, 导函数 $f'(x)$ 的值域是一个区间.

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的有界函数, 并且处处二阶可导, 证明: 存在一点 $\xi\in\mathbb{R}$, 使得 $f''(\xi)=0$.

求函数 $f(g(x^2,x),x)$ 关于 $x$ 的导数, 假设 $f$ 和 $g$ 的偏导数都存在.

求函数 $f(x)$ 的导数, 这里
\[
f(x)=\begin{cases}
x^\frac{3}{2}\sin\frac{1}{x}+x,& x>0,\\
0, & x=0.
\end{cases}
\]

例.  设二元隐函数 $u=u(x,y)$, $v=v(x,y)$ 由方程组

\[
\begin{cases}
2x=v^2-u^2,\\
y=uv,
\end{cases}
\]

确定, 求 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}$, $\dfrac{\partial v}{\partial x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$.

设 $f(x)=e^x+ax^2-x$, $g(x)=\frac{1}{2}x^3+1$, 若 $f(x)\geqslant g(x)$ 对所有 $x\in[0,+\infty)$ 都成立, 求常数 $a$ 的范围. (这里 $a$ 是实数.)

[Hint] 有 $e^x$ 和多项式在一起的情况, 当求导时, 尽量让两者分开.

证明: $\cos x < \frac{1}{x}$, $\forall\ x\in(0,\frac{\pi}{2})$.

证明: 当 $x > 0$ 时,

\[e^{\frac{x}{x+1}} < (1+\frac{1}{x})^x < e.\]

证明: 当 $x > 1$ 时,

\[\frac{\pi}{4} < x(\frac{\pi}{2}-\arctan x) < 1.\]