勒让德多项式(Legendre Polynomial)

我们称

\[
P_0(x),\  P_1(x),\  P_2(x),\ \ldots,\ P_n(x)
\]

为勒让德多项式(Legendre Polynomial), 如果它们满足下面的条件:

(1)  $P_n(x)$ 是 $n$ 阶实系数多项式, 且满足

\[
\int_{-1}^{1}P_n(x)x^{\nu}\mathrm{d}x=0,\quad\nu=0,1,2,\ldots,n-1;\quad n\geqslant 1;
\] 

(2)  $P_n(x)$ 满足

\[
\int_{-1}^{1}\bigl[P_n(x)\bigr]^2\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1},\quad n=0,1,2,\ldots;
\]

(3)  $P_n(x)$ 中 $x^n$ 的系数是正的, $n=0,1,2,\ldots$.

参考 [1], P.85

References:

[1] George Polya, Gabor Szego,  Problems and Theorems in Analysis  II.

设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次多项式,

\[
f(x)=a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1 x+a_0,\qquad (a_k,\ldots,a_0)\in\mathbb{R}^{k+1},\ a_k\neq 0.
\]

写出 $f(\lambda x+\mu)-f(\mu)$, 这里 $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$. 

设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次多项式,

\[
f(x)=a_k x^k +a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0,
\]

这里 $a_0=0$.

若 $x=q_1 y+q_2 z$, $q_1,q_2,y,z\in\mathbb{Z}$, 则

\[f(q_1 y+q_2 z)\equiv f(q_1 y)+f(q_2 z)\pmod{q_1 q_2}.\]

若记 $e_q(f(x))=e^{2\pi i\frac{f(x)}{q}}$, 则对于一般的多项式 $f(x)$, 即常数项不一定为 0 ($f(x)=a_k x^k +a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0$). 有

\[
e_{q_1 q_2}(f(q_1 y+q_2 z))=e_{q_2}(\frac{f(q_1 z)}{q_1})\cdot e_{q_1}(\frac{f(q_2 z)}{q_2}).
\]