问题及解答

证明:

\[
\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-\mu_X\cdot\mu_Y
\]

回忆, 协方差的公式为

\[
\mathrm{Cov}(X,Y)=E\bigl[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\bigr]
\]

根据定义,

\[
\begin{split}
\mathrm{Cov}(X,Y)&=E\bigl[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\bigr]\\
&=E\bigl[XY-X\mu_Y-\mu_X Y+\mu_X\mu_Y\bigr]\\
&=E(XY)-E(X\mu_Y)-E(\mu_X Y)+E(\mu_X\mu_Y)\\
&=E(XY)-\mu_Y E(X)-\mu_X E(Y)+\mu_X\mu_Y E(1)\\
&=E(XY)-\mu_Y\mu_X-\mu_X\mu_Y+\mu_X\mu_Y\\
&=E(XY)-\mu_X\mu_Y .
\end{split}
\]