紧集到 Hausdorff 空间的连续映射如果是双射, 则其逆映射也连续.
设 $f:X\rightarrow Y$ 是紧集 $X$ 到 Hausdorff 空间 $Y$ 上的一个连续映射, 并且是双射. 证明 $f^{-1}$ 也连续.
Answer
问题及解答
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由于 $f$ 是双射. 故可定义逆映射 $f^{-1}:Y\rightarrow X$. 要证明 $f^{-1}$ 连续, 任取 $U\in\tau_X$, 证明 $(f^{-1})^{-1}(U)\in\tau_Y$. 即证 $f(U)\in\tau_Y$. 因此等价于证明 $f:X\rightarrow Y$ 是开映射.
现在任取 $U\in\tau_X$, 则 $U^c=X-U$ 是 $X$ 中的闭集. 由于 $X$ 紧致, 故 $U^c$ 紧致. (紧集的闭集是紧致的.)
而 $f$ 连续, 故 $f(U^c)$ 是 $Y$ 中的紧集. (紧致性可被连续映射所保持.)
又 $Y$ 是 Hausdorff 空间, 故 $f(U^c)$ 是 $Y$ 中的闭集. (Hausdorff 空间中的紧集是闭集, 见问题767.)
从而由 $f$ 的双射性, $f(U)=Y-f(U^c)$ 是 $Y$ 中的开集. 故 $f$ 是开映射.
Q.E.D