问题及解答

(1) 一般的, 在度量空间中, 紧致子集一定是有界闭集, 反之不一定(反例见问题779).

(2) 在紧度量空间或者欧氏空间 $\mathbb{E}^n$ 中, 子集是紧致的当且仅当是有界闭集.

(1) 设 $A$ 是度量空间 $X$ 的紧子集, 作为子空间, $A$ 是紧致度量空间. 从而 $A$ 具有 Bolzano-Weierstrass 性质. (对于度量空间而言, 各种紧性是等价的. 见问题781.)

再根据结论: 具有 Bolzano-Weierstrass 性质的度量空间是全有界的(问题780), 因此 $A$ 有界. (回忆, 度量空间中的任一全有界子集总是有界的. 问题782.)

又度量空间 $X$ 是 Hausdorff 的, 故 $A$ 作为 Hausdorff 空间的紧子集必是闭集, 故 $A$ 是有界闭集.

(2) 仅就欧氏空间 $\mathbb{E}^n$ 证明. 并且根据 (1), 只要证明充分性.

在 $\mathbb{E}^n$ 中, 若 $A$ 是有界闭集, 则存在 $a_i,b_i\in\mathbb{R}$, $a_i < b_i$, $(i=1,2,\ldots,n)$. 使得

\[A\subset\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i].\]

由于每个 $[a_i,b_i]$ 是紧致的, 故 $\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]$ 也紧致.

这里要用到两个结论,
(a) 积空间 $X\times Y$ 紧致当且仅当 $X$, $Y$ 都紧致. (问题783)
(b) 积空间 $X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$ 与 $(X_1\times\cdots\times X_{n-1})\times X_n$) 同胚. (问题784)

因此, $A$ 作为此紧致集的闭集, 当然也紧致.