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4阶群有多少个同构类?

Posted by haifeng on 2015-02-05 11:12:32 last update 2015-12-15 23:32:43 | Answers (0) | 收藏


素数阶群都是循环群, 而且都只有一个同构类.

(设 $G$ 的阶是素数 $m$, 任取 $a\in G$, 则 $a$ 的阶整除 $m$. 故要么 $a$ 是 $G$ 的单位元, 要么 $a$ 生成整个群 $G$. 故 $G=<a>$ 是循环群.)

 

问: 4阶群有多少个同构类?


[Hint]

 

(1) $G$ 有一个4阶元, 则 $G=\langle a\rangle\cong\mathbb{Z}_4$.

(2) $G$ 没有4阶元, 设 $G=\{e,a,b,c\}$.

则 $G$ 的3个非零单位元 $a,b,c$ 都是 2阶元. 容易证明

\[
G\cong K\lhd A_4,
\]

这里

\[
K=\{(1),\ (12)(34),\ (13)(24),\ (14)(23)\}
\]