问题

设 $\sigma_n(x)=\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx$, 证明

\[
\sigma_n(x)=\frac{\sin\frac{2n+1}{2}x}{2\sin\frac{1}{2}x},\quad\forall\ x\neq 2k\pi.
\]

而当 $x=2k\pi$ 时, $\sigma_n(x)=\frac{1}{2}+n$.