问题

证明: 连通李群的每个离散正规子群是central的.

Remark:

群 $G$ 的中心记为 $Z(G)=\{g\in G\mid gh=hg, \forall h\in G\}$. 设 $H$ 是 $G$ 的一个子群, 如果 $H\leq Z(G)$, 则称 $H$ 是 central 的.

将上题的结论应用到李群 $G$ 的万有覆盖映射 $\pi:\widetilde{G}\rightarrow G$ 的 kernel, 证明: 对于任意连通李群 $G$, 其基本群 $\pi_1(G)$ 都是可交换的.