问题

定义. 设 $A\subset\mathbb{R}^2$ 为平面点集. 如果任给 $\varepsilon>0$, 存在至多可数个闭矩形
\[
I_{i},\quad i=1,2,\ldots,
\]
使得
\[
A\subset\bigcup_{i\geqslant 1}I_i,\quad\text{且}\quad\sum_{i\geqslant 1}v(I_i)<\varepsilon,
\]
则称 $A$ 为零测集.

定义. 设 $A\subset\mathbb{R}^2$ 为平面点集. 如果任给 $\varepsilon>0$, 存在有限个闭矩形:
\[
I_i,\ i=1,2,\ldots,n,
\]
使得
\[
A\subset\bigcup_{i=1}^{n}I_i,\quad\text{且}\quad\sum_{i=1}^{n}v(I_i) < \varepsilon,
\]
则称 $A$ 为零面积集.

显然, 零面积集是零测集.