证明奇数阶反对称方阵的行列式恒为零; 偶数阶反对称方阵的行列式是一个完全平方数.
反对称方阵亦称斜对称方阵. (Burnside)
注意 若 $A$ 是反对称矩阵, 则 $[Pf(A)]^2=\det(A)$.
这里 $Pf(A)$ 指 Pfaffian 矩阵, 定义为
\[
Pf(A)=\frac{1}{2^p p!}\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}\cdot a_{\sigma(1)\sigma(2)}\cdot a_{\sigma(3)\sigma(4)}\cdots a_{\sigma(n-1)\sigma(n)}.
\]