设 $f,g$ 都是 $[a,b]$ 上的连续函数, 证明存在 $\xi\in[a,b]$, 使得

\[
g(\xi)\int_a^{\xi}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi)\int_{\xi}^{b}g(x)\mathrm{d}x.
\]

用 Lagrange 中值定理证明

\[
\frac{1}{x+1} < \ln(x+1)-\ln x <\frac{1}{x}.
\]

\[
P_i=\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}\frac{C_{ij}}{S_i}
\]

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导. 且 $f(0)=0$, $f(1)=2$.

证明: 存在 $\xi\in(0,1)$, 使得 $f'(\xi)=2f(\xi)+1$.

[Think] 需要加什么条件才能得到所要结论?

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, $0\not\in[a,b]$. 证明存在一点 $c\in(a,b)$, 使得

\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{c^2}{ab}f'(c).
\]

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续单调递减函数, 证明: 对任意 $x\in(0,1)$, 有

\[
\int_0^1 f(t)dt\leqslant\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt.
\]

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, 且 $f'(x)<0$. 记

\[F(x)=\frac{1}{x-a}\int_a^x f(t)dt,\]

证明: $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调减少.

设 $f\in C[a,b]$, 且在 $(a,b)$ 上可导. 若 $f'(x)\neq 0$, $\forall x\in(a,b)$. 则存在 $\xi,\eta\in(a,b)$, 使得

\[f'(\xi)=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta).\]

类似的问题还可以这样设置

使得

\[
\frac{f'(\xi)}{f'(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-\eta}.
\]

一般看到这种形式的等式, 就应该想到使用 Cauchy 中值定理.