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Questions in category: 初等数论 (Elementary Number Theory)
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数论 >> 一般数论 >> 初等数论 [176]
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171. 从 $\mathbb{N}-\{1\}$ 中删去 2,3 的倍数, 得到数列 $\{u_n\}_{n=1}^{+\infty}$. 证明该数列存在一定的递推关系.

Posted by haifeng on 2011-06-16 12:38:14 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

\[ \begin{cases} u_{2k+1}=u_{2k}+4,\\ u_{2k}=u_{2k-1}+2, \end{cases} \] 其中 $k=1,2,\ldots,$

172. 欧拉定理

Posted by haifeng on 2011-06-12 09:21:36 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

设 $m$ 是大于 1 的整数, $(a,m)=1$(即$a$与$m$互素), 则有 \[ a^{\varphi(m)}\equiv 1(\text{mod}\ m) \]

173. 证明 $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n+1}$ 对任意 $n\geq 1$ 都不是整数.

Posted by haifeng on 2011-05-04 13:36:09 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

174. 证明 $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\ (n>1)$ 不是整数.

Posted by haifeng on 2011-05-04 13:00:01 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

175. $\min\{ax+by\mid ax+by>0, x,y\in\mathbb{Z}, a^2+b^2>0\}|(ax+by)$

Posted by haifeng on 2011-04-28 23:13:28 last update 2021-05-18 12:55:35 | Answers (0) | 收藏

若 $ax_0+by_0$ 是形如 $ax+by$ ($x,y$ 是任意整数, $a,b$ 是两个不全为零的整数)的数中的最小正数, 则 \[ (ax_0+by_0)\mid (ax+by), \] 其中 $x,y$ 是任何整数. 即

\[\min\{ax+by\mid ax+by>0, x,y\in\mathbb{Z}, a^2+b^2>0\}\mid(ax+by)\]

176. 证明 $3|n(n+1)(2n+1)$, 其中 $n$ 是任何整数.

Posted by haifeng on 2011-04-28 22:33:34 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (1) | 收藏

Proof
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