Ricci曲率正的紧致带边连通黎曼流形, 如果边界每一点处关于内法向量的平均曲率大于零, 则边界是连通的.
Thm. 设 $M$ 是一紧致连通的带边黎曼流形, $\text{Ric}(M)>0$. 设 $H_x$ 是边界 $\partial M$ 在 $x\in M$ 处关于内法向量的平均曲率, $H_x>0$, $\forall\ x\in\partial M$, 则 $\partial M$ 是连通的.
[分析] 利用弧长的第二变分公式可将 Ricci 曲率和平均曲率联系起来.
Reference:
H. Blaine Lawson, Jr. The Unknottedness of Minimal Embeddings. Invent. Math. 11. 183-187 (1970).