问题

[Def] $(S,g)$ 称为是 Sasaki 流形, 如果锥流形 $(C(S),\bar{g})=(\mathbb{R}_+\times S,dr^2+r^2g)$ 是 Kahler 流形.

所谓 Kahler 流形 参见 ...

$S$ 常等同于 $C(S)$ 的子流形 $\{1\}\times S$. 于是 $\dim S$ 是奇数, 不妨记为 $2m+1$, 而 $\dim_{\mathbb{C}}C(S)=m+1$.

记 $J$ 是 $C(S)$ 上的复结构, 定义 $S$ 上的向量场 $\xi$ 和 1-形式 $\eta$ 如下:

\[ \xi:=J(\frac{\partial}{\partial r}),\quad\eta(Y):=g(\xi,Y), \]

这里 $Y$ 是 $S$ 上的任意光滑向量场. (记 $S$ 上所有光滑向量场集合为 $\mathscr{X}(S)$.)

Prop. (a) $\xi$ 是 $S$ 上的一个 Killing 向量场. (b) $\xi$ 的积分曲线是一条测地线. (c) $\eta(\xi)=1$ 且 $d\eta(\xi,X)=0$, 对任意 $X\in\mathscr{X}(S)$.

Pf.

References: Akito Futaki, Hajime Ono, Guofang Wang, Transverse Kähler geometry of Sasaki manifolds and toric Sasaki-Einstein manifolds, J. Differential Geometry, 83 (2009) 585--635.