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$L_X T$ 的公式

Posted by haifeng on 2016-04-07 04:09:28 last update 2016-04-07 04:48:16 | Answers (2) | 收藏


Prop. 设 $X,T$ 分别为流形 $M$ 上的向量场和 $(0,p)$-型张量, 则

\[
(L_X T)(Y_1,\ldots, Y_p)=D_X\bigl(T(Y_1,\ldots, Y_p)\bigr)-\sum_{i=1}^{p}T(Y_1,\ldots,L_X Y_i,\ldots, Y_p).
\]

 

写成局部坐标的形式, 以 (0,2)-型张量为例

\[
(L_X T)^{jk}=X^i\frac{\partial T^{jk}}{\partial x^i}-T^{ik}\frac{\partial X^j}{\partial x^i}-T^{ji}\frac{\partial X^k}{\partial x^i}.
\]