问题

设 $M$ 是一紧致可定向黎曼流形, 则其体积形式定义为一个 $n$-微分形式 $\nu_M$, 其对每个 $x\in M$, 作用在 $T_x M$ 中的每个可定向标准正交标架上值为 1. 这样的 $\nu_M$ 是唯一的. $M$ 的体积就等于 $\nu_M$ 在 $M$ 上的积分 \[ \text{vol}(M)=\int_M\nu_M. \]