问题

• 根据 Cartan-Hadamard 定理, 对于具有非正截面曲率的完备单连通黎曼流形, 其中的凸集一定是全凸集.
• 对于具有非正截面曲率的完备单连通黎曼流形, 它的所有的测地球(开的或闭的)都是全凸集. 特别的, 这样的流形上每点都是全凸的.
• 一般情形下, 单点集不一定是全凸集.

单点集是全凸的, 是指对于 $x\in M$, 不存在非平凡的测地线 $c:[0,1]\rightarrow M$, 使得 $c(0)=c(1)=x$.