问题

标准单位球面 $S^{n+p}(1)$ 中极小子流形的刚性定理.

Thm(Lawson-Simons Theorem) 设 $M$ 是 $S^{n+p}(1)$ 中的一个 $n$ 维可定向紧致极小子流形. 如果 $M$ 的第二基本 $h$ 的平方范数 $S$ 满足

\[S\leq\max\{\frac{n}{2-\frac{1}{p}},\frac{2n}{3}\},\]

则 $M$ is congruent to one of following:

(1) $S^n(1)$;

(2) $S^k(\sqrt{\frac{k}{n}})\times S^{n-k}(\sqrt{\frac{n-k}{n}})$, 对 $k=1,2,\ldots,n-1$;

(3) the Veronese surface in $S^4(1)$.

References:

Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.