问题

设 $M$ 是 $n$ 维完备黎曼流形, Ricci 曲率有正的下界, 则 $M$ 紧致. 进而, 如记 $Ric_M\geq (n-1)c$, $c>0$. 则其直径的上界估计为

\[d(M)\leq\frac{\pi}{\sqrt{c}}.\]

并且 $M$ 的基本群是有限的.

注: 这是一个经典的定理,

应用此定理的有: [S-X] 中的定理1, 通过复杂又巧妙的运算, 最终由条件推出完备子流形的 Ricci 曲率有正的下界, 从而应用经典的 Bonnet-Myers 定理.
 

References:

伍鸿熙, 沈纯理, 虞言林 著, 黎曼几何初步, 北京大学出版社, 2000年6月. [pp.134 定理8]

[S-X] Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.