当外围流形Ricci曲率有下界时子流形Ricci曲率的下界估计
定理(Shiohama & Hongwei Xu)([S-X],Proposition 2)
设 $M^n\subset N^{n+p}$ 是 $N$ 的子流形. 对于 $x\in M$ 的任意标准正交标架, $N$ 的黎曼曲率张量 $K_N$ 满足
\[\sum_i K_{inin}\geq (n-1)c,\]
这里 $c$ 是一常数. 则对任意单位向量 $X\in M_x$, 有
\[\text{Ric}_M(X)\geq\frac{n-1}{n}\biggl[nc+2nH^2-S-\frac{n(n-2)}{\sqrt{n(n-1)}}H(S-nH^2)^{1/2}\biggr]\]
References
[S-X] Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.