设 $M$ 是光滑流形, $(U,\varphi)$ 是某个坐标图卡, $p\in U$. 将李导数 $L_X Y$ 在点 $p$ 处的值用局部坐标表示. 并由此证明 $L_X Y$ 是 $M$ 上的光滑向量场.

回忆

\[
(L_X Y)_p=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}\Bigl[{\theta_{-t}}_*(Y_{\theta(t,p)})-Y_p\Bigr]
\]

设李群 $SO(n)$ 共轭作用于其李代数 $\mathfrak{so}(n)$ 上. 这里 $\mathfrak{so}(n)$ 是由所有反对称矩阵构成的向量空间.

令

\[A=\begin{pmatrix}
0 & -a & 0 & 0\\
a & 0 & 0 &0\\
0 & 0 & 0 &0\\
0 & 0 & 0 &0
\end{pmatrix}
\]

其中 $0\neq a\in\mathbb{R}$.

证明: $A$ 的轨道由所有秩为2且范数平方等于 $\|A\|^2=a^2$ 的反对称方阵组成.

确定 $A$ 的稳定化子(stabilizer), 并推导出

\[SO(n)\cdot A\cong SO(n)/SO(2)\times SO(n-2).\]

此齐性空间也可被解释为由 $\mathbb{R}^n$ 中所有 2 维平面组成的 Grassman 流形 $\widetilde{G}_2(\mathbb{R}^n)$.

问这个轨道的维数是多少?

假设 $n=4$, 证明 Grassmannian $\widetilde{G}_2(\mathbb{R}^n)$ 微分同胚于 $S^2\times S^2$.

现在假设群 $SO(n)$ 以通常的方式作用在 $\mathbb{R}^n$ 上, 且以对角方式作用在 $\mathbb{C}^n$ 上. 验证, 这定义了 $SO(n)$ 在 $\mathbb{C}P^{n-1}$ 上的一个作用. 并且点 $[1,i,0,\ldots,0]$ 的轨道是二次方程 $\sum_{i=1}^{n}z_i^2=0$ 所确定的超曲面, 而且也等价地同胚于这里的 Grassmannian.

验证 $\mathbb{R}^3$ 中任意一个向量可写成另两个向量的叉积.

从而证明: 李代数 $\mathfrak{so}(3)$, $\mathfrak{so}(2,1)$, $\mathfrak{su}(2)$ 均满足 $\mathfrak{g}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$.

特殊酉群 $SU(n)$ 是由行列式为 1 的所有酉矩阵构成的, 它是酉群 $U(n)$ 的一个子群. 求 $SU(n)$ 的李代数.

如

\[\mathfrak{su}(2)=\biggl\{
\begin{pmatrix}ia & b+ic\\ -b+ic & -ia\end{pmatrix}\ :\ a,b,c\in\mathbb{R}
\biggr\}\]

且映射 $\varphi:\ \mathfrak{su}(2)\rightarrow\mathbb{R}^3$

\[
\begin{pmatrix}ia & b+ic\\ -b+ic & -ia\end{pmatrix}\mapsto
\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}
\]

满足

\[\varphi([A,A\'])=2\varphi(A)\times\varphi(A\').\]

从而推出 $\mathfrak{su}(2)$ 也同构于 $(\mathbb{R}^3,\times)$.

设 $G=SO(2,1)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上二次型 $x^2+y^2-z^2$ 的等距同构群. 令 $J$ 是此二次型对应的矩阵形式. 证明: $A\in SO(2,1)$ 当且仅当 $A^t JA=J$.

从而推出 $SO(2,1)$ 的李代数由所有满足 $X^t J+JX=0$ 的矩阵组成.

证明下面的映射给出了 $\mathfrak{so}(2,1)$ 到 $(\mathbb{R}^3,\times)$ 的一个同构.

\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ \mathfrak{so}(2,1)&\rightarrow(\mathbb{R}^3,\times)\\
(x,y,z)&\mapsto &
\begin{pmatrix}
0 & -z & y\\
z & 0 & x\\
y & x & 0
\end{pmatrix}
\end{array}
\]

伴随作用是 $SO(2,1)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上的标准作用. 确定伴随作用的轨道.

证明:

\[\varphi:\ (x,y,z)\mapsto
\begin{pmatrix}
0 & -z & y\\
z & 0 & -x\\
-y & x & 0
\end{pmatrix}
\]

是李代数 $(\mathbb{R}^3,\times)$ 与 $\mathfrak{so}(3)$ 之间的同构.

(这里 $\times$ 是指 $\mathbb{R}^3$ 中向量的叉积, 即定义 $[v,w]:=v\times w$.)

证明: 反对称矩阵的旋转共轭就是 $\mathbb{R}^3$ 中通常的旋转作用.

即, 若 $A\in SO(3)$, 向量 $v=(x,y,z)$ 对应于反对称矩阵

\[\begin{pmatrix}
0 & -z & y\\
z & 0 & -x\\
-y & x & 0
\end{pmatrix}\]

则

\[A\begin{pmatrix}
0 & -z & y\\
z & 0 & -x\\
-y & x & 0
\end{pmatrix}A^{-1}=A\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}.\]

确定伴随作用的轨道. 验证 $\mathbb{R}^3\rightarrow [0,+\infty)$ 是商映射 $\mathfrak{so}(3)\rightarrow\mathfrak{so}(3)/SO(3)$.

证明: $SO(3)$ 的闭子群或者共轭于 $SO(2)$, 或者共轭于 $O(2)$, 或者是有限群.

基于此事实, 确定可以赋予非平凡 $SO(3)$ 作用的那些曲面.

设李群 $G$ 作用在流形 $M$ 上. 假设 $M$ 中存在某个非空开子集 $U$, $G$ 在 $U$ 上的作用不是有效的(effective). 证明: $G$ 在整个 $M$ 上的作用也不是有效的.

关于群作用是有效的(effective)的定义见问题840.

设 $H$, $K$ 是李群 $G$ 的两个闭子群. 证明: 存在等变映射(equivariant) $\varphi:G/H\rightarrow G/K$ 当且仅当 $H$ 共轭于 $K$ 的一个子群.

证明: $S^1$ 在 $\mathbb{C}^2$ 上的作用是半自由的(semi-free).

$S^1$ 在 $S^3$ 上的作用: $t.(z_1,z_2)=(t^{m_1}z_1,t^{m_2}z_2)$ 什么时候是自由的?