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正互反矩阵

Posted by haifeng on 2017-05-04 11:31:50 last update 2017-05-04 11:36:06 | Answers (0) | 收藏


设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足

\[
a_{ij} > 0,\quad a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}},\quad\forall i,j=1,2,\ldots,n.
\]

则称 $A$ 是一个正互反矩阵.


设 $\lambda$ 是 $n$ 阶正互反矩阵 $A$ 的最大特征值, 证明:

(1) $\lambda\geqslant n$.

(2) 当 $\lambda=n$ 时, $A$ 是一致矩阵.  (当然, 当 $n=1,2$ 时, $A$ 显然是一致矩阵.)

(3) $A$ 的 $n$ 个特征值之和等于 $n$.