正互反矩阵
设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足
\[
a_{ij} > 0,\quad a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}},\quad\forall i,j=1,2,\ldots,n.
\]
则称 $A$ 是一个正互反矩阵.
设 $\lambda$ 是 $n$ 阶正互反矩阵 $A$ 的最大特征值, 证明:
(1) $\lambda\geqslant n$.
(2) 当 $\lambda=n$ 时, $A$ 是一致矩阵. (当然, 当 $n=1,2$ 时, $A$ 显然是一致矩阵.)
(3) $A$ 的 $n$ 个特征值之和等于 $n$.