Questions in category: 代数数论 (Algebraic number theory)
数论 >> 代数数论

1. 有理整数集合 $\mathbb{Z}$ 上定义二元运算

Posted by haifeng on 2022-10-02 10:53:20 last update 2022-10-02 10:53:20 | Answers (1) | 收藏


在有理整数集合 $\mathbb{Z}$ 上定义二元运算 "$*$" 为

\[
n*m=-n-m,\quad n,m\in\mathbb{Z}
\]

1. 证明这个二元运算是交换的, 但不是结合的.

2. 此二元运算 $*$ 满足

\[
(n*m)*m=m*(m*n)=n.
\]

 


Remark:

题目来自于 潘承洞、潘承彪 著《代数数论》

2. [Def]类群与类数(class group and class number)

Posted by haifeng on 2020-07-22 08:56:29 last update 2020-07-22 08:58:55 | Answers (0) | 收藏


理想类的群称为类群(class group), 其阶称为类数(class number).

 

关于类群的两个重要结果, 它们使用了 Minkowski 定理.

定理. 数域的类群是一个有限 Abel 群. 其类数 $h$ 是有限的.

 


Reference:

Rahbar Virk, The Geometry of Numbers.

3. 丢番图方程 $aX+bY=c$.

Posted by haifeng on 2016-03-04 17:43:46 last update 2022-10-02 10:49:10 | Answers (0) | 收藏


设 $a,b,c\in\mathbb{Z}$, $a,b$ 至少有一个非零. 则方程

\[
aX+bY=c,
\]

总有有理解. 并且当且仅当 $(a,b)|c$ 时有整数解, 此时可以使用 Euclid 算法求出所有整数解.


 

使用 Calculator 即可计算此方程的整数解. 

IndefiniteEquation(a,b)

求解的是 $ax+by=1$, 当等号右边是 $c$ 时, 则将所得结果乘以 $c$ 即可.