设 $(M^{2n},J)$ 是一近复流形, 近复结构 $J$ 以如下方式作用在 $\Omega^2(M)$ 上. $\Omega^2(M)$ 是 $M$ 上所有光滑 2-形式的集合.

\[
J:\ \alpha\mapsto\alpha^J,\quad \alpha^J(\cdot,\cdot):=\alpha(J\cdot,J\cdot).
\]

注意到 $J^2=-\text{id}$, 所以 $(\alpha^J)^J=\alpha$. 故而 $J$ 在 $\Omega^2(M)$ 上的作用是对合. 记

\[
\begin{aligned}
\Omega_J^{+}&:=\{\alpha\in\Omega^2(M)\mid\alpha^J=\alpha\},\\
\Omega_J^{-}&:=\{\alpha\in\Omega^2(M)\mid\alpha^J=-\alpha\}.
\end{aligned}
\]

证明: $\Omega^2=\Omega_J^{+}\oplus\Omega_J^{-}$.

设 $\Omega$ 是某个实向量空间 $V$ 上的一个双线性反对称形式. 证明存在 $V$ 的一组基

\[
u_1,\ldots,u_k; e_1,\ldots,e_n; f_1,\ldots,f_n;
\]

使得对所有的 $i,j,l,m$, 有

\[
\begin{array}{ll}
\Omega(u_i,v)=0,& \forall\ i, \forall\ v\in V\\
\Omega(e_i,e_j)=0=\Omega(f_i,f_j),& \forall\ i,j\\
\Omega(e_i,f_j)=\delta_{ij},& \forall\ i,j
\end{array}
\]

注意: 定理中这样的基并不惟一, 但我们还是将这组基称为典范的.

在这组基下, 双线性形式 $\Omega(\cdot,\cdot)$ 可表示为下面的矩阵形式:

\[
\Omega(u,v)=[--- u ---]
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & Id\\
0 & -Id & 0
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
|\\ v\\ |
\end{bmatrix}
\]

定义映射

\[
\begin{array}{rcl}
\widetilde{\Omega}:\ V&\rightarrow& V^*\\
v&\mapsto&\widetilde{\Omega}(v)
\end{array}
\]

这里定义 $\widetilde{\Omega}(v)(u):=\Omega(v,u)$. 显然 $\widetilde{\Omega}$ 是一个线性映射. 并且 $\widetilde{\Omega}$ 的核(kernel)就是上面的子空间 $U$.

Def. 如果 $\widetilde{\Omega}$ 是双射, 即 $U=\{0\}$, 则称反对称双线性形式 $\Omega$ 是辛的(symplectic)或是非退化的(nondegenerate). 此时称 $\Omega$ 为向量空间 $V$ 上的线性辛结构. $(V,\Omega)$ 称为辛向量空间.

假设 $V$ 是 $2n$ 维实向量空间(或者是某个域上的向量空间, 但是要求这个域的特征为零),  $\Omega$ 是 $V$ 上的一个双线性反对称形式. 证明: $\Omega^n=\underbrace{\Omega\wedge\cdots\wedge\Omega}_{n}\neq 0$ 当且仅当 $\Omega$ 非退化.

因此, 辛向量空间 $(V,\Omega)$ 具有 calibrated 的复结构.(关于复结构是 calibrated 的定义, 参见问题73.)

Michele Audin , Jacques Lafontaine ,

Michèle Audin

http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/

Holomorphic curves in symplectic geometry (Progress in Mathematics)

http://www.amazon.com/Holomorphic-Symplectic-Geometry-Progress-Mathematics/dp/3764329971

This book is devoted to pseudo-holomorphic curve methods in symplectic geometry. It contains an introduction to symplectic geometry and relevant techniques of Riemannian geometry, proofs of Gromov\'s compactness theorem, an investigation of local properties of holomorphic curves, including positivity of intersections, and applications to Lagrangian embeddings problems. The chapters are based on a series of lectures given previously by the authors M. Audin, A. Banyaga, P. Gauduchon, F. Labourie, J. Lafontaine, F. Lalonde, Gang Liu, D. McDuff, M.-P. Muller, P. Pansu, L. Polterovich, J.C. Sikorav. In an attempt to make this book accessible also to graduate students, the authors provide the necessary examples and techniques needed to understand the applications of the theory. The exposition is essentially self-contained and includes numerous exercises.

辛流形 $(M,\omega)$ 上的近复结构 $J$ 称为 $\omega$-calibrated 的($\omega$-校准的, $J$ est "calibré" par $\omega$ ), 如果 $\omega$ 是 $J$ 不变的($J$-invariant), 并且对称双线性形式 $\omega(J\cdot,\cdot)$ 是正定的($J$-positive), 即

\[\omega(JX,JY)=\omega(X,Y),\quad\omega(JV,V) > 0,\]

对任意的 $X,Y,V\in TM$, $V\neq 0$ 都成立.

也可以表述为

\[
\omega[x](v,w)=\omega[x](J_x v, J_x w),\quad\omega[x](u,J_x u) > 0,
\]

对任意 $x\in M$, $v,w,u\in T_x M$, $u\neq 0$ 都成立.

Remark:

此时，我们也称 $\omega$ 是 $J$-相容的($J$-compatible), 或者近复结构 $J$ 关于辛形式 $\omega$ 是相适应的(La structure presque-complex $J$ est dite adaptée à la forme symplectique $\omega$. )

$M$ 上与 $\omega$ 相适应的近复结构 $J$ 的存在性是一个经典的结论（参见[2], Lecture 2）

References:

[1] P. Delanoë, Sur L'analogue presque-complexe de l'equation de Calabi-Yau. Osaka J. Math. 33 (1996), 829-846.

[2] A. Weinstein, Lectures on symplectic manifolds, American Math. Society 1977 (CBMS regional conference series in math. #29).

记 $\mathfrak{J}_t(\omega)$ 为所有被 $\omega$ 驯化(tamed)的近复结构组成的集合. 考虑 $\mathbb{C}^n$, 及上面的典范结构 ($J_0$, $\omega$, 及数量积).

证明: 映射

\[
\begin{array}{rcl}
\Phi:\ \mathfrak{J}_t(\omega)&\rightarrow&B=\{S\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\mid J_0 S+S J_0=0,\ \text{且}\ \|S\| < 1\}\\
J&\mapsto& (J+J_0)^{-1}\circ(J-J_0)
\end{array}
\]

是微分同胚.

类似的记 $\mathfrak{J}_c(\omega)$ 为所有 $\omega$-calibrated 的近复结构组成的集合. 则映射

\[
\begin{array}{rcl}
\Phi:\ \mathfrak{J}_c(\omega)&\rightarrow&B=\{S\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\mid J_0 S+S J_0=0,\ S^T=S,\ \text{且}\ \|S\| < 1\}\\
J&\mapsto& (J+J_0)^{-1}\circ(J-J_0)
\end{array}
\]

是微分同胚.

Remark:

这里 近复结构 $J$ 是 $\omega$-tamed, 指

\[\omega[x](v,J_x v) > 0\]

对任意 $x\in M$, $v\in T_x M$, $v\neq 0$ 成立. 即 $J$ 是 $\omega$-tamed 的, 仅是要求双线性形式 $\omega(\cdot, J\cdot)$ 是正定的, 或者说 $\omega$ 是 $J$-positive 的.

因此 $\mathfrak{J}_c(\omega)\subset\mathfrak{J}_t(\omega)$.

设 $(M,\omega)$ 是 $2n$ 维闭的辛流形, $\omega$ 是辛形式, 从而代表了 $H_{\mathrm{dR}}^2(M)$ 中的元素 $[\omega]$. 证明 $[\omega]\neq 0$.

Hint. 这可从问题900 直接推出.

根据单值化定理, R 的万有覆盖 U 可以共形映射到一个 simple domain E 上, 这个 E 或者是单位圆盘 $|z|<1$, 或者是有限 z-平面, 或者是整个 z-平面.

E 到自身的所有共形映射构成一个群 $\Omega$. 而 R 的基本群可由 $\Omega$ 的一个子群 $\Delta$ 忠实地表示, 这个子群 $\Delta$ 在 E 上是不连续的.

通过引入参数 $z$, R 上的单变量解析函数的一般理论可归结为 the theory of automorphic functions with the group $\Delta$.

群 $\Omega$ 是可迁的, 即对 E 中任意两点 $z_1,z_2$, 存在 $\Omega$ 中的一个元素 $f$, 将 $z_1$ 映为 $z_2$. 并且, 对 E 中任一点 $z_1$, 存在 $\Omega$ 中的一个对合映射 $f$, 以 $z_1$ 为不动点. 即

\[f(z_1)=z_1,\quad f^{-1}(z_1)=z_1.\]

因而用 Elie Cartan 的术语来说, E 是一个对称空间.

如果我们仅考虑第一种情形, 即域 E 是单位圆盘, 则它有界的. 这种情形的出现当且仅当 U 至少有两个 frontier points.

References:

Carl Ludwig Siegel, Symplectic Geometry. Institute for advanced study, Princeton, N. J.

对于自守函数(automorphic functions)理论推广至多变量情形, 需要下面三个步骤:

1) 找出 $m$ 维复向量空间中所有有界的 simple domain E. 这个 E 是对应于某个多变元解析映射的, 其所对应的共形映射全体构成群 $\Omega$, 关于这个群, E 是对称空间.

2) 研究 E 的不变几何性质,  找出 $\Omega$ 中的不连续子群 $\Delta$, 并构建它们的基本域(fundamental domains).

3) To study the field of automorphic functions in E with the group $\Delta$.

第一个步骤以经由 Cartan 完成, 他找到了6种不同类型的不可约 domain E. 比如所有有界简单对称解析空间, 以及可由它们通过解析映射和拓扑乘积得到的空间. (such that all other bounded simple symmetric analytic spaces can be derived from them by analytic mappings and topological products.)

References:

Carl Ludwig Siegel, Symplectic Geometry. Institute for advanced study, Princeton, N. J.

设 $M^{2n}$ 是 2n 维可定向的闭光滑流形. $\omega$ 是 $M$ 上与其定向相容的辛形式. 即 $\omega^n$ 是与该定向相容的体积形式. 记 $\Omega_M$ 为这种 2-形式的集合. 对于这些闭的 2-形式取上同调, 得到投射:

\[cc:\ \Omega_M\longrightarrow H^2(M;\mathbb{R})\]

该映射的像 $cc(\Omega_M)\subset H^2(M;\mathbb{R})$ 称为 $M$ 的 symplectic cone, 记为 $\mathcal{C}_M$.

References:

T.-J. Li and W. Zhang, Comparing tamed and compatible symplectic cones and cohomological properties of almost complex manifolds, Comm. Anal. Geom., 17 (2009), 651--684.

Thurston 给出了一个 4 维的例子.

References:

A. Weinstein, Lectures on symplectic manifolds, C.B.M.S. regional conference series, 29, A.M.S. Rhode Island, 1977.