设 $(M^{2n},\omega)$ 是一紧致辛流形. $J$ 是 $M$ 上的一个与 $\omega$ 相容的近复结构. 也就是说 $g(\cdot,\cdot):=\omega(\cdot, J\cdot)$ 是正定对称的, 从而定义了 $M$ 上一个黎曼度量. 此时 $(\omega,J,g)$ 称为 $M$ 上的一个（与 $\omega$ 相容的）almost Kähler structure.

Pf. 设 $(M_1,\omega_1)$, $(M_2,\omega_2)$ 是两个辛流形, $\varphi: (M_1,\omega_1)\rightarrow (M_2,\omega_2)$ 是辛流形同态, 因此须满足 $\varphi^*(\omega_2)=\omega_1$. 于是对任意一点 $x\in M_1$, 切映射

\[\varphi^T_*=\varphi_{*x}\ :\ (T_x M_1,(\omega_1)_x)\longrightarrow(T_{\varphi(x)}M_2,(\omega_2)_{\varphi(x)})\]

是辛向量空间之间的一个同态. 假若存在 $v\neq 0$, 使得 $\varphi_{*x}(v)=0$, 则

\[\omega_1(v,\cdot)=(\varphi^* \omega_2)(v,\cdot)=\omega_2(\varphi_* v,\varphi_* \cdot)=\omega_2(0,\varphi_* \cdot)=0,\]

这与 $\omega_1$ 非退化矛盾, 故 $\varphi$ 是一浸入映射.

这样的例子有很多

  设 $(M^{2n},J)$ 是一近复流形, $J$ 是近复结构. $\omega$ 是此流形上的辛形式. 如果 $\omega$ 既是 $J$-positive 的, 又是 $J$-invariant 的, 则称此辛形式 $\omega$ 关于近复结构 $J$ 是相容的, 简称 $J$-compatible.

此时称 $J$ 是 $\omega$-calibrated.

  设 $(M^{2n},J)$ 是一近复流形, $J$ 是近复结构. $\omega$ 是此流形上的辛形式. 如果对任意 $X, Y\in TM$, 都有

\[\omega(JX,JY)=\omega(X,Y),\]

则称辛形式 $\omega$ 关于近复结构 $J$ 是不变的, 或简称 $J$-invariant 的.

 设 $(M^{2n},J)$ 是一近复流形, $J$ 是近复结构. $\omega$ 是此流形上的辛形式. 如果对任意 $X\in TM, X\neq 0$, 都有

\[\omega(X,JX) > 0,\]

则称辛形式 $\omega$ 关于近复结构 $J$ 是正的, 或简称 $J$-positive 的.

 假设 $(M^4,J)$ 是紧致近复流形, $J$ 是上面的近复结构. 问是否存在与 $J$ 相容的辛形式?

对于 $M=\mathbb{C}P^2$, Taubes 和 Gromov 给出了肯定的回答.

Taubes 在 [Taubes 2011] 中证明了对于 $b^+=1$ 的所有紧致四维流形, 及只要是诱导给定定向的近复结构, 该结论都成立.

设 $V=\mathbb{R}^{2n}$, 取典范辛形式 $\omega(x,y)=\langle Jx,y\rangle$ , 其中 $x,y\in\mathbb{R}^{2n}$, $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 指欧氏内积. \[ J=\begin{pmatrix} 0 & I_{n}\\ -I_{n} & 0 \end{pmatrix} \]

Remark: 这是辛向量空间仅有的一个例子.

有的书上令

\[ J=\begin{pmatrix} 0 & -I_{n}\\ I_{n} & 0 \end{pmatrix} \]